Sopranistka. Studiowała w Państwowej Wyższej Szkole Muzycznej w Warszawie, gdzie uzyskała dyplom z wyróżnieniem i nagrodę im. Kazimierza Czekotowskiego. Będąc studentką III roku zadebiutowała w stołecznym Teatrze Wielkim, by po ukończeniu studiów związać się z nim na stałe. Kreowała tu tytułową rolę w „Madamie Butterfly” G. Pucciniego, postacie: Roxany w „Królu Rogerze” K. Szymanowskiego, Violetty w „Traviacie”, Amelii w „Balu maskowym”, Leonory w „Mocy przeznaczenia”, Marii w „Simone Boccanegra” i Elwiry w „Ermanim” G. Verdiego, Małgorzaty w „Fauście” Ch. Gounoda, Micaëli w „Carmen” G. Bizeta, Sophie w „Kawalerze z różą” R. Straussa, Mimi w „Cyganerii” i Liu w „Turandocie” G. Pucciniego, Sophie w „Wertherze” J. Masseneta, Hanny w „Strasznym dworze” i Neali w „Parii” S. Moniuszki, Marii w „Mazepie” P. Czajkowskiego, Paminy w „Czarodziejskim flecie”, Donny Elwiry w „Don Giovannim” i Hrabiny w „Weselu Figara” W. A. Mozarta, Neddy w „Pajacach” R. Leoncavalla, Antonii w „Opowieściach Hoffmanna” J. Offenbacha, Elwiry we „Włoszce w Algierze” G. Rossiniego, Xeni w „Borysie Godunowie” M. Musorgskiego, Ewy w „Raju utraconym” K. Pendereckiego, Oriony w „Amadigi” i Romildy w „Xerxesie” G. F. Haendla, Frei w „Złocie Renu” R. Wagnera, Aldony w „Litwinach” A. Ponchiellego.
Śpiewała główne partie sopranowe w koncertowych wykonaniach „Trojan” H. Berlioza, „Zamku Sinobrodego” B. Bartóka, „Siostry Angeliki” i „Płaszcza” G. Pucciniego, „Il tramonto” O. Respighiego. Z powodzeniem wykonuje również repertuar oratoryjno-kantatowy („Stabat Mater” A. Dvořáka, K. Szymanowskiego i G. Battisty Pergolesiego, „Wielką mszę c-moll” W. A. Mozarta, „Requiem” G. Verdiego, „Magnificat” J. S. Bacha, „IX Symfonię” L. van Beethovena, „Diesirae”, „Polskie requiem”, „Credo” i „Siedem bram Jerozolimy” K. Pendereckiego, „III Symfonii” H. M. Góreckiego). W styczniu 2001 r. uczestniczyła w prawykonaniu „Missa pro pace” W. Kilara (dzieło dedykowane Filharmonii Narodowej w stulecie jej istnienia). W roku 2003 wzięła udział w japońskim tournée Opery Narodowej („Turandot”). Wystąpiła także na noworocznym koncercie w Osace jako solistka Filharmoników Wiedeńskich (Johann Strauss Ensemble).
Izabela Kłosińska występowała gościnnie w Amsterdamie, Utrechcie, Eindhoven, Hanowerze, Dortmundzie, Lipsku, Dreźnie, Berlinie, Hamburgu, Zurychu, Bernie, Londynie, Glasgow, Watykanie, Tallinie, a także w Korei Południowej, Japonii, Wenezueli, Brazylii i Stanach Zjednoczonych. Śpiewała w amerykańskich realizacjach „Króla Rogera” w Buffalo i Detroit, wzięła udział w amerykańskim prawykonaniu oratorium „Święta Ludmiła” A. Dvořáka (Carnegie Hall) oraz w przesłuchaniach i przygotowaniach do tytułowej partii w „Rusałce” Dvořáka (Metropolitan Opera). Uczestniczyła w wielu festiwalach, m.in. w Alicante, Maastricht, Bayonne, w „Warszawskiej Jesieni” i „Wratislavii Cantans”.
Ma na swoim koncie wiele nagrań płytowych, radiowych i telewizyjnych. Utrwaliła na płytach CD i DVD większość dzieł K. Pendereckiego. Arie w jej wykonaniu, zarejestrowane dla Polskiego Radia, uznano za najlepsze nagranie roku 1990. W 2006 r. otrzymała nagrodę w Japonii za rejestrację „Polskiego Requiem” K. Pendereckiego pod dyrekcją Antoniego Wita (Record Academy Award 2005, przyznawaną przez japoński magazyn muzyczny „Geijutsu” za najlepsze nagranie muzyki współczesnej).
Izabela Kłosińska w roku 1996 została wybrana „Divą Roku” w rankingu „Przeglądu Tygodniowego”. W 1999 r. otrzymała Nagrodę Ministra Kultury i Sztuki za osiągnięcia w dziedzinie muzyki wokalnej, w 2000 – Nagrodę im. Andrzeja Hiolskiego za najlepszą rolę operową sezonu 1999/2000 w „Madamie Butterfly”. Została też odznaczona Medalem „Zasłużony Kulturze Gloria Artis”.
Pracą pedagogiczną związana jest z Uniwersytetem Muzycznym im. F. Chopina w Warszawie.